Conceptos básicos

• Experimento: procedimiento mediante el cual se controlan determinadas condiciones y es posible verificar (apoyar, rechazar o modificar) ciertas conjeturas, que se denominan hipótesis).

  • Experimento determinístico: aquél que bajo las mismas condiciones, arroja los mismos resultados.

  • Experimento aleatorio: aquél que bajo las mismas condiciones, arroja resultados diferentes.

• Unidad experimental: muestra utilizada para generar valores representativos del resultado del experimento.

• Variable respuesta: variable objetivo, a través de la misma, es posible conocer el efecto o el resultado de determinado experimento.

• Factores controlables: son variables que se pueden fijar en determinados niveles. Usualmente controlados bajo experimentación u operación normal del proceso de interés; se caracterizan por posibilitar el cambio o la manipulación de su nivel de operación.

• Factores no controlables (ruido): variables o características del fenómenos bajo experimentación, que no se pueden controlar.

• Tratamiento: los diferentes valores que se asignan a cada factor bajo estudio, se denominan niveles. La combinación de los niveles de los factores de interés, se conoce como tratamiento. El tratamiento, es una de las formas que durante el experimento toma el factor.
  • Tratamiento control: tratamiento de útilidad para comparar.

• Error experimental: parte de la variabilidad observada que no es posible explicar a través de los factores estudiados. En ese orden de ideas, siempre existirán casusas comunes o aleaotorias, que determinan la variabilidad natural del fenómeno.

• Repetición: una repetición, es el número de veces que aparece el tratamiento en el experimento. Importante para aumentar la precisión del experimento, controlar el error experimental y disminuir la desviación estándar de la media.

• Diseños: de acuerdo con la asignación de tratamientos a las unidades experimentales y, basados en el número de datos para los factores de interés (en sus niveles), podremós hablar de dos tipos de diseños:
  • Diseño balanceado: todos los niveles poseen la misma cantidad de datos.
  • Diseño desbalanceado: todos los niveles no poseen la misma cantidad de datos.
• Etapas de un experimento:
  • 1. Objetivo: definir el objetivo de estudio; entender y acotar el problema de interés.
  • 2. Variables respuesta: elección de variables respuesta que contribuyan a la caracterización del fenómeno.
  • 3. Factores: utilizar toda la información disponible para determinar los factores del experimento.
  • 4. Niveles: seleccionar los niveles de cada factor. Determinar el número de repeticiones por tratamiento.
  • 5. Planificación del trabajo experimental: forma operativa de desarrollar el experimento.
  • 6. Realizar el experimento.

• Planeación de un experimento:
  • ¿Cuál es mi objetivo?
  • ¿Qué quiero saber?
  • ¿Por qué quiero saberlo?
  • ¿Cómo lo voy a realizar?

Métodos Estadísticos

• Historia:
  • Método científico
    • Observación
    • Inducción
    • Hipótesis
    • Experimentación
    • Antítesis
    • Teoría científica
  • Ronald A. Fisher
  • George Box aportes importantes en inferencia bayesiana
  • Genichi Taguchi con el diseño robusto
• Consideraciones prácticas:
  • El conocimiento específico es vital
  • Significancia estadística y significancia práctica
  • Experimentación secuencial
• Principios fundamentales:
  • Control local: reducir el error experimental.
  • Replicación: medio para estimar la varianza del error experimental.
  • Aleatorización: estimación válida de la varianza del error experimental.

Clasificiación de diseños experimentales:

Nota: tomado del libro Análisis y diseño de experimentos de Humberto Pulido y Román de la Vara.

• Consideraciones matemáticas:
  • Variabilidad observada \(\sigma^2\)
  • Descomposición de la variabilidad \(\sigma^2\)
    • Suma de cuadrados total
    • Suma de cuadrados entre grupos
    • Suma de cuadrados residual (dentro de grupos)
  • Efectos fijos
  • Efectos aleatorios
  • Modelos lineales \(y=mx+b\)
    • Supuesto de normalidad
    • Supuesto de homocedasticidad
    • Supuesto de independencia
  • Modelos de efectos fijos
  • Modelo de efectos aleatorios
  • Modelos mixtos
  • Comparaciones múltiples
    • Tukey
    • Dunnet
    • LSD (distancia mínima significativa de Fisher)
    • Duncan
    • Bonferroni

Elementos de Inferencia Estadística

• Población: Parámetro \(P,\ \mu\)

• Muestra: Estadístico \(\bar{x}\), \(\sigma^2\)

• Inferencia estadística (concepto): la inferencia estadística permitirá hacer afirmaciones válidas acerca de la población con base en la información contenida en la muestra. Se apoya en estadísticos calculados a partir de la muestra.
  • Estimación
  • Pruebas de hipótesis

• Distribuciones de probabilidad: las distribuciones de probabilidad o distribución de una variable aleatoria \(X\), asocia el conjunto de valores posibles de \(X\) (rango de \(X\)), con la probabilidad relacionada a cada uno de estos valores y son representados a través de una función (fómula matemática)

• Ejemplo: si la variable aleatoria está dada por el estadístico \(\bar{X}\), conocer su distribución de probabilidad posibilita saber cuáles son los valores que puede tomar \(\bar{X}\) y cuáles son más probables. A través de la distribución de probabilidad, es posible describir o acotar los posibles valores de un estadístico muestral, con la finalidad de rechazar o apoyar determinadas hipótesis, o bien, hacer estimaciones poblacionales.

  • Distribución normal:
    • Parámetro \(\mu\)
    • Parámetro \(\sigma\)
    • Normal estándar \(\mu=0\ y\ \sigma=1\) –> \(N(0,1)\)
    • Simétrica

• Distribución \(t-Student\):
  • Se define en términos de la distribución normal
  • Los parámetros que la definen son los grados de libertad
  • Inferencia sobre \(\mu\) y \(P\)

• Distribución \(\chi^2\):
  • Se define en términos de la distribución normal
  • Los parámetros que la definen son los grados de libertad
  • Inferencia sobre \(\sigma^2\)

• Distribución \(F\)
  • Se define en términos de la distribución normal
  • Los parámetros que la definen son los grados de libertad
  • Comparar varianzas
  • Importante en diseño de experimentos (análisis de variabilidad)

• Tipos de muestras:
  • Independientes
  • Pareadas
• Esimación:
  • Estimación puntual:
    • Parámetros \(\mu,\ \sigma\ y\ P\)
    • Estimadores puntuales \(\mu=\bar{X}\), \(\sigma^2=S^2\) y \(P=x/n\)
    • Alta exactitud
    • Baja precisión
  • Estimación por intervalo:
    • Intervalos \(100(1-\alpha)\)
    • Límite inferior
    • Límite superior
    • Baja exactitud
    • Alta precisión

Fórmulas para intervalos de confianza:

• Pruebas de hipótesis: conjeturas basadas en conocimiento específico del fenómeno, con aplicaciones prácticas; cuya finalidad es responder de forma segura y tomar decisiones. \[H_0: Hipótesis\ nula\] \[H_1: hipótesis\ alternativa\] Ejemplo: a la afirmación, “este producto produce menos de 10% de defectuosos”, se puede responder con el planteamiento de una hipótesis estadística. \[H_0: p=0.08\] \[H_1: p<0.08\]
• Criterios de rechazo de \(H_0\):
  • Nivel de significancia estadística (\(\alpha\))
  • Estadísticos de prueba \(Z\), \(t\), \(\chi^2\) y \(F\) contrastados con valores de tablas estadísticas.

• Valor P.
  • \(Si\ valor\ P\ <\ \alpha,\ entonces,\ existe\ evidencia\ para\ rechazar\ H_0\)
  • \(Si\ valor\ P\ >\ \alpha,\ entonces,\ NO\ existe\ evidencia\ para\ rechazar\ H_0\)
  • \(Si\ valor\ P\ =\ \alpha,\ entonces,\ posiblemente\ surge\ la\ necesidad\ de\ aumentar\ el\ tamaño\ de\ muestra\)
• Intervalos de confianza
  • Contiene al cero
  • A la derecha del cero
  • A la izquierda del cero
• Tipos de errores:

Ejemplos con R

• Ejemplo 1.1 el conjunto de datos births del paquete openintro contiene información sobre 150 nacimientos junto con información de las madres. Se pretende saber si existen diferencias estadísticamente signifcativas para el peso de los recien nacidos, entre madres fumadoras y no fumadoras.

Solución:

1. Planteamiento de hipótesis

\[H_0: \mu_f=\mu_nf\] \[H_0: \mu_f\neq\mu_nf\]

2. Parámetro estimado

tapply(births$weight, births$smoke, mean)

## nonsmoker    smoker 
##    7.1795    6.7790

fuma <- 6.7790
nofuma <- 7.1795
(diferencia <- fuma - nofuma)

## [1] -0.4005

3. Validar supuestos

   • Normalidad

library(ggplot2)
ggplot(births,aes(x = weight)) + 
  geom_histogram(aes(colour = smoke)) +
  facet_grid(~ smoke) +
  theme_bw() 

par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(births[births$smoke == "nonsmoker","weight"], xlab = "",
       main = "nonsmoker", col = "firebrick")
qqline(births[births$smoke == "nonsmoker","weight"])
qqnorm(births[births$smoke == "smoker","weight"], xlab = "",
       main = "smoker", col = "springgreen4")
qqline(births[births$smoke == "smoker","weight"])

shapiro.test(births[births$smoke == "smoker","weight"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  births[births$smoke == "smoker", "weight"]
## W = 0.89491, p-value = 0.0003276

shapiro.test(births[births$smoke == "nonsmoker","weight"]) 

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  births[births$smoke == "nonsmoker", "weight"]
## W = 0.92374, p-value = 2.234e-05

• Homocedasticidad

library(car)
leveneTest(weight ~ smoke, data = births, center = "median")

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = "median")
##        Df F value Pr(>F)
## group   1  0.4442 0.5062
##       148

• Independencia

4. Nivel de significancia \(\alpha\)

\[\alpha=0.05\]

5. Obtener el valor P.

t.test(x = births[births$smoke == "smoker", "weight"],
       y = births[births$smoke == "nonsmoker", "weight"],
       alternative = "two.sided", mu = 0, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  births[births$smoke == "smoker", "weight"] and births[births$smoke == "nonsmoker", "weight"]
## t = -1.5517, df = 148, p-value = 0.1229
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.9105531  0.1095531
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##    6.7790    7.1795

6. Conclusión

Dado que el valor P es igual a 0.1229 (mayor que 0.05), no existe evidencia suficiente para rechazar \(H_0\), es decir, que el peso promedio de los recien nacidos con madres que fuman, no difiere de aquellos cuyas madre sí lo hacen. En otras palabras, no existe suficiente evidencia para decir que los promedios de peso de los recien nacidos son diferentes.